Pincha en el enlace para bajar un manual sobre los poliedros regulares:
http://www.box.com/shared/lpxg66qqvg
En la animación podemos observar un icosaedro inscrito en un dodecaedro. Cada vértice del primero está centrado en las caras del segundo, a continuación mientras ambos empiezan a girar en el mismo sentido se les aplica una transformación: se van achaflanando progresivamente las aristas y los vértices hasta que el icosaedro se convierte en el dodecaedro y recíprocamente. Se puede observar en la animación que se transforman de manera uniforme y al unísono pasando por un poliedro arquimediano, el rombicosidodecaedro. http://generacion-de-poliedros.blogspot.com.es/2011/12/blog-post.html El dodecaedro se convierte antes en el rombicosidodecaedro que el icosaedro, es por lo que los poliedros nunca se llegan a relacionar en una homotecia espacial: los vértices correspondientes de ambos rombicosidodecaedros nunca llegan a esta alineados con el centro de ambas figuras, o lo que es lo mismo, no se pueden escalar desde un mismo centro. |
En el exterior observamos un cubo que se transforma en rombicuboctaedro y luego en octaedro, a continuación se invierte el proceso y pasa de ser rombicuboctaedro a cubo. Interiormente un octaedro con los vértices incidentes en el centro de las caras del cubo se transforma en tetraedro, cuboctaedro -que llega a tener los vértices en el centro de cada cara del poliedro que se transforma en rombicuboctaedro- y por último en tetraedro con los vértices incidentes en los vértices del cubo exterior.
Transformación de un poliedro regular (icosaedro) en distintos poliedros arquimedianos y regreso a otro poliedro regular: el dodecaedro.
Al prolongar las caras del primer estrellado del dodecaedro se obtiene el gran dodecaedro. Si en esta figura achaflanamos los vértices, obtenemos el poliedro anterior y es el que aparece ahora al final del vídeo, esto es, el gran dodecaedro truncado.
En la figura observamos la transformación de un pequeño dodecaedro estrellado en un gran dodecaedro. Primero achaflanamos los vértices de las pirámides pentagonales del dodecaedro estrellado obteniendo pentágonos y a continuación surgen pentagramas de cada pentágono de la figura, pentagramas determinados por los prismas que son en realidad la prolongación de las caras del dodecaedro. En cuanto estos pentagramas se transforman en un punto, tenemos que se han prolongado hasta el límite las caras del primer dodecaedro estrellado, obteniendo de esta forma caras que son pentágonos regulares sobre los que se asienta una estrella volumétrica, cuyos brazos sirven para la estrella adyacente.
En la figura observamos cómo se puede transformar un poliedro arquimediano (icosaedro truncado) en una esfera geodésica, esto es, en una estructura construida con caras triangulares casi equiláteras, de manera que todos los vértices de los triángulos de la esfera equidistan del centro de la misma. Sobre cada una de las caras de la figura se construye una pirámide cuya base es la misma cara. Para saber cuál es su altura debemos pasar por el punto medio de la cara una recta que pase también por el centro de la esfera que inscribe el poliedro. Esta recta cortará a la esfera en la que está inscrito el poliedro en un punto y este es el vértice superior de la pirámide. A continuación unimos este vértice con cada uno de los vértices de la base que son los vértices del polígono regular (caras del poliedro arquimediano). De esta forma tenemos que todos los puntos de la esfera geodésica equidistan del centro y todas sus caras son triángulos casi equiláteros.
Si en vez de tomar como vértice superior de la pirámide la intersección de la esfera con la recta que pasa por el centro de la esfera y por el punto medio de cada cara cogemos un punto que queda más lejos por encima de cada cara del poliedro, obtendremos un poliedro estrellado. De esta forma tenemos que para construir un poliedro estrellado lo único que necesitamos es construir pirámides apoyadas en cada una de las caras del poliedro.
En la figura se puede ver la transformación entre varios poliedros, un octaedro regular se convierte en un tetraedro truncado y esté en un tetraedro regular.
VIERNES, 18 DE DICIEMBRE DE 2009
DE ROMBICUBOCTAEDRO INSCRITO EN UN CUBO A UN CUBO INSCRITO EN OCTAEDRO
El rombicuboctaedro tiene sus caras centradas e incidentes en las caras de un cubo que se va transformando en otro rombicuboctaedro y posteriormente en un octaedro; mientras, el rombicuboctaedro original se transforma en un cubo cuyos vértices inciden en los puntos medios de cada arista del octaedro.
El rombicuboctaedro tiene sus caras centradas e incidentes en las caras de un cubo que se va
transformando en otro rombicuboctaedro y posteriormente en un octaedro; mientras,
el rombicuboctaedro original se transforma en un cubo cuyos vértices inciden en los puntos
medios de cada arista del octaedro.
Un cubo inscrito en octaedro, se transforman uno en octaedro y el otro en tetraedro. Las caras del octaedro se deforman y aplastan los vértices del cubo transformándolo en un rombicuboctaedro primero y luego en un octaedro, al tiempo que el octedro se transforma en un tetraedro. El cubo original tiene sus vértices en el punto medio de cada cara y al achaflanarse por las caras del octaedro que se va deformando hasta convertirse en tetraedro, los vértices resultantes del nuevo octaedro –que partió de ser un cubo- pasan a estar en el punto medio de cada arista del nuevo tetraedro transformado del octaedro original.
Un cubo inscrito en octaedro, se transforman
uno en octaedro y el otro en tetraedro. Las caras del octaedro se deforman y aplastan los vértices
del cubo transformándolo en un rombicuboctaedro primero y luego en un octaedro, al tiempo
que el octedro se transforma en un tetraedro. El cubo original tiene sus vértices en el punto medio
de cada cara y al achaflanarse por las caras del octaedro que se va deformando hasta convertirse
en tetraedro, los vértices resultantes del nuevo octaedro –que partió de ser un cubo- pasan a estar
en el punto medio de cada arista del nuevo tetraedro transformado del octaedro original.
DE TETRAEDRO EN OCTAEDRO A OCTAEDRO EN TETRAEDRO
Un tetraedro inscrito en octaedro, se transforman uno en el otro de forma recíproca. Las caras del octaedro se deforman y aplastan los vértices del tetraedro transformándolo en un octaedro, al tiempo que éste se transforma en un tetraedro. El tetraedro original tiene sus vértices en el punto medio de cada cara y al achaflanarse por las caras del octaedro que se va deformando, los vértices resultantes del nuevo octaedro –que partió de ser un tetraedro- pasan a estar en el punto medio de cada arista del nuevo tetraedro transformado del octaedro original.
Un tetraedro inscrito en octaedro, se transforman
uno en el otro de forma recíproca. Las caras del octaedro se deforman y aplastan los vértices del tetraedro
transformándolo en un octaedro, al tiempo que éste se transforma en un tetraedro. El tetraedro original
tiene sus vértices en el punto medio de cada cara y al achaflanarse por las caras del octaedro que se va
deformando, los vértices resultantes del nuevo octaedro –que partió de ser un tetraedro- pasan a estar
en el punto medio de cada arista del nuevo tetraedro transformado del octaedro original.
VIERNES, 1 DE ENERO DE 2010
De cubo a dodecaedro rómbico o rombododecaedro
MIÉRCOLES, 4 DE NOVIEMBRE DE 2009
Rombododecaedro y Cuboctaedro en sistema diédrico
El Rombododecaedro o dodecaedro rómbico
El Rombododecaedro o Dodecaedro rómbico es uno de los sólidos de Catalan, tiene la característica de rellenar completamente el espacio (por ello se dice que es un mosaico) cuando se apiñan varios de ellos al igual que un hexágono llena el plano.Tiene 12 caras rómbicas, 24 aristas y 14 vértices.
El Rombododecaedro es dual del Cuboctaedro, o sea que se obtiene tomando los puntos medios de cada cara de éste. El cuboctaedro es un sólido de Arquímedes que se consigue truncando cada vértice de un cubo con lo que resultan 14 caras: 6 del cubo, que continúan cuadradas y 8 nuevas que resultan del truncamiento de los vértices; el cuboctaedro es un cubo que se trunca hasta el punto medio de la arista; en este sentido tiene mucha relación con el cubo truncado y el octaedro.
El Rombododecaedro o Dodecaedro rómbico es uno de los sólidos de Catalan, tiene la característica
de rellenar completamente el espacio (por ello se dice que es un mosaico) cuando se apiñan varios
de ellos al igual que un hexágono llena el plano.Tiene 12 caras rómbicas, 24 aristas y 14 vértices.
El Rombododecaedro es dual del Cuboctaedro, o sea que se obtiene tomando los puntos medios de
El Rombododecaedro es dual del Cuboctaedro, o sea que se obtiene tomando los puntos medios de
cada cara de éste. El cuboctaedro es un sólido de Arquímedes que se consigue truncando cada
vértice de un cubo con lo que resultan 14 caras: 6 del cubo, que continúan cuadradas y
8 nuevas que resultan del truncamiento de los vértices; el cuboctaedro es un cubo que se
trunca hasta el punto medio de la arista; en este sentido tiene mucha relación con el cubo
truncado y el octaedro.
Rombododecaedro y Cuboctaedro
De gran dodecaedro de Poinsot a pequeño dodecaedro estrellado.
http://sistema-diedrico.blogspot.com/
http://inscripcionpoliedrica.blogspot.com/
Página sobre los poliedros regulares: http://nexmargul.260mb.com/
Pincha en el enlace para bajar un manual sobre los poliedros regulares:
http://www.box.net/shared/lpxg66qqvg
De gran dodecaedro de Poinsont a pequeñododecaedro estrellado
El icosaedro triakis
El icosaedro triakis es un sólido de Catalan que se obtiene al unir los puntos medios de cada cara del dodecaedro truncado (es lo que llaman poliedros duales, los de Catalan lo son de los arquimedianos).
Se puede construir partiendo del icosaedro al que se le añaden pirámides triangulares sobre cada cara.
Tiene 90 aristas, 32 vértices y 60 caras.
http://superficiespoliedricas.blogspot.com/
http:// sistema-diedrico.blogspot.com/
http:// sistema-diedrico.blogspot.com/
Icosaedro (blanco) que prolonga sus aristas hasta convertirse en el gran dodecaedro estrellado -en amarillo. Al unir éste último sus vértices se convierte en el dodecaedro de pirámides huecas del borde superior derecho
Poliedros estrellados regulares
En esta página observamos sobretodo la generación de los poliedros estrellados regulares llamados sólidos de Kepler-Poinsot.
Los de Kepler se llaman pequeño dodecaedro estrellado y gran dodecaedro estrellado, y los de Poinsot gran icosaedro y gran dodecaedro.
Los poliedros de Kepler-Poinsot, como observamos en las animaciones, se pueden construir a partir de los sólidos platónicos dodecaedro e icosaedro o desde la transformación de cualquiera de los de Kepler-Poinsot, bien mediante un proceso usual de achaflanado o también por extensión de aristas y vértices, entre otros.
Los de Kepler se llaman pequeño dodecaedro estrellado y gran dodecaedro estrellado, y los de Poinsot gran icosaedro y gran dodecaedro.
Los poliedros de Kepler-Poinsot, como observamos en las animaciones, se pueden construir a partir de los sólidos platónicos dodecaedro e icosaedro o desde la transformación de cualquiera de los de Kepler-Poinsot, bien mediante un proceso usual de achaflanado o también por extensión de aristas y vértices, entre otros.
